多元闭区域 $D:g(x,y)\le C$ 求最值
▼前提$f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 二阶连续可微，$D$ 是由一条或多条曲线围成的有界闭区域。
规则 1：$f=Ax^2+By^2+$一次项（无交叉项）
1-1：$A,B$ 同号（都正/都负）
✅ 内部存在极值点，必须求内部驻点，纳入候选。
• $A>0,B>0$：内部驻点是极小值点
• $A<0,B<0$：内部驻点是极大值点
边界：闭合单曲线 → 拉格朗日/二转一；边界分段（圆弧+线段）→ 分段单独算。
1-2：$A,B$ 一正一负
✅ 内部驻点是鞍点，不是极值点，内部不可能产生最值。
👉 小题：跳过内部驻点，直接算边界
👉 大题：一句话说明"内部为鞍点，无内部极值，最值仅在边界"
规则 2：$f$ 含交叉乘积项（$xy,\;x^2y^2$）
例：$f=x^2+2y^2-x^2y^2$
✅ 强制必须求内部驻点，内部有可能产生极值。
边界照常：分段就分段算，单闭合曲线可用拉格朗日/二转一。
❌ 不能直接不等式放缩！
规则 3：看边界结构（决定边界怎么算）
单条闭合曲线（椭圆、整圆），没有分段：
👉 直接拉格朗日乘数法，一次性求出边界全部候选；也可以二转一代入。
多段拼接（半圆：圆弧+底边；扇形等）：
👉 分段处理！每一段单独计算。拉格朗日只能处理等式曲线段，直线段单独代入。
无交叉、系数同号，内部极值要算到；
无交叉、一正一负，内部鞍点不用瞧；
一见交叉乘积项，内部驻点必求上；
边界单段拉格朗日，边界分段分开搞。
题目：求 $f(x,y)=x^2+2y^2-x^2y^2$ 在区域 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4,\;y\ge 0\}$ 上的最大值和最小值。
判断出现交叉项 $-x^2y^2$ → 规则2：必须求内部驻点 + 边界分段。
内部驻点：$(\pm\sqrt{2},\,1)$，$f(\pm\sqrt{2},1)=2+2-2=2$。
边界2（底边 $y=0,\;-2\le x\le 2$）：
$f(x,0)=x^2$，范围 $[0,4]$。$f(\pm2,0)=4$，$f(0,0)=0$。
边界1（圆弧 $x^2+y^2=4,\;y\ge 0$）：用二转一，$x^2=4-y^2$： $$f=(4-y^2)+2y^2-(4-y^2)y^2=y^4-3y^2+4$$ 令 $t=y^2\in[0,4]$，$g(t)=t^2-3t+4$，对称轴 $t=\frac{3}{2}$：
- $t=\frac{3}{2}$：$g=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+4=\frac{7}{4}=1.75$
- $t=0$：$g=4$（对应 $(\pm2,0)$，与底边重合）
- $t=4$：$g=16-12+4=8$（对应 $(0,2)$）
题目：函数 $z=x^2+y^2-6x+8y$ 在圆域 $x^2+y^2\le 100$ 上的最大值与最小值？
A. 200,-25 B. 180,0 C. 205,-15 D. 190,10
判断$A=1>0,B=1>0$ 同号 → 规则1-1：必须求内部驻点。
二阶判别：$A=2>0,\;AC-B^2=4>0$ → 极小值点。
代入 $x^2+y^2=100$：$\frac{25}{16}y^2=100 \Rightarrow y=\pm8$。
- $y=8,\;x=-6$：$z(-6,8)=36+64+36+64=\mathbf{200}$
- $y=-8,\;x=6$：$z(6,-8)=36+64-36-64=0$
题目：当 $x\ge0,\;y\ge0$ 时，$x^2+y^2\le k\,e^{x+y}$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围。
变形分离参数：$k\ge \dfrac{x^2+y^2}{e^{x+y}}=(x^2+y^2)e^{-(x+y)}\triangleq g(x,y)$。
问题转化为求 $g(x,y)$ 在第一象限（含坐标轴）的最大值。
注意本题是无界区域，除内部驻点和边界外，还要单独看无穷远处极限。
两式相减得 $x=y$，代入：$2x=2x^2 \Rightarrow 2x(x-1)=0$。
$x>0 \Rightarrow x=y=1$。$g(1,1)=\dfrac{1+1}{e^2}=\dfrac{2}{e^2}$。
$x=0,\;y\ge0$：$g(0,y)=\dfrac{y^2}{e^y}$。
令 $\varphi(y)=y^2e^{-y}$，$\varphi'(y)=e^{-y}(2y-y^2)$，驻点 $y=2$。
$\varphi(2)=\dfrac{4}{e^2}$。
$y=0,\;x\ge0$：对称，驻点 $x=2$，$g(2,0)=\dfrac{4}{e^2}$。
- $(1,1)$：$\dfrac{2}{e^2}\approx0.27$
- $(2,0),\;(0,2)$：$\dfrac{4}{e^2}\approx0.54$
- 无穷远：$0$
- $g(x,y)$ 不是二次多项式 → 必须求内部驻点
- 无界区域 → 边界（坐标轴）+ 无穷远极限都要算
- 恒成立问题分离参数后，转化为求函数最值
基本初等函数导数表
▼常数 / 幂 / 指数 / 对数
$(C)'=0$
$(x^\mu)'=\mu x^{\mu-1}$ （$\mu$ 为常数）
$(a^x)'=a^x\ln a$ （$a>0,\;a\ne1$）
$(e^x)'=e^x$
$(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}$ （$a>0,\;a\ne1,\;x>0$）
$(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ （$x>0$）
三角函数
$(\sin x)'=\cos x$ $(\cos x)'=-\sin x$
$(\tan x)'=\sec^2 x$ （$x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$） $(\cot x)'=-\csc^2 x$ （$x\ne k\pi$）
$(\sec x)'=\sec x\tan x$ （$x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$） $(\csc x)'=-\csc x\cot x$ （$x\ne k\pi$）
反三角函数
$(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ （$|x|<1$） $(\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$ $(\text{arccot}\,x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}$
补充$(\text{arcsec}\,x)'=\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ $(\text{arccsc}\,x)'=-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ （$|x|>1$，选学）
双曲函数（补充）
$(\mathrm{sh}\,x)'=\mathrm{ch}\,x$ $(\mathrm{ch}\,x)'=\mathrm{sh}\,x$
$(\mathrm{th}\,x)'=\mathrm{sech}^2\,x$
求导法则
▼四则运算法则
$(u\pm v)'=u'\pm v'$
$(uv)'=u'v+uv'$
$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ （$v\ne0$）
$(Cu)'=Cu'$ （$C$ 为常数）
复合函数求导（链式法则）
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ 即 “外层导数 × 内层导数”
$\big[f(\varphi(x))\big]'=f'[\varphi(x)]\cdot\varphi'(x)$
适用于任意有限重复合。
反函数求导法则
一阶：$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\frac{dx}{dy}}$ （$f'(x)\ne0$）
二阶：$\dfrac{d^2x}{dy^2}=-\dfrac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$
隐函数求导法则
方程 $F(x,y)=0$ 确定隐函数 $y=y(x)$：两端对 $x$ 求导，把 $y$ 视为 $x$ 的函数（含 $y$ 的项用链式法则），再解出 $y'$。
例：$x^2+y^2=1$ 两端求导得 $2x+2yy'=0$，即 $y'=-\dfrac{x}{y}$（$y\ne0$）。
参数方程求导法则
设 $x=x(t),\;y=y(t)$，$x'(t)\ne0$：
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$
$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{y''(t)x'(t)-x''(t)y'(t)}{[x'(t)]^3}$
对数求导法（幂指函数）
$y=u(x)^{v(x)}$（$u(x)>0$）：先取对数再求导
$\ln y=v\cdot\ln u$
$\dfrac{y'}{y}=v'\cdot\ln u+v\cdot\dfrac{u'}{u}$，即 $y'=y\cdot\left(v'\ln u+v\cdot\dfrac{u'}{u}\right)$
常用高阶导数公式
▼记 $f^{(n)}(x)$ 为 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数（$n$ 为正整数）。
$(x^\mu)^{(n)}=\mu(\mu-1)\cdots(\mu-n+1)\,x^{\mu-n}$
$(a^x)^{(n)}=a^x(\ln a)^n$ $(e^x)^{(n)}=e^x$
$(\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$ $(\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$
$(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{x^n}$ （$x>0$）
$(\ln(1+x))^{(n)}=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(1+x)^n}$ （$x>-1$）
$\left(\dfrac{1}{ax+b}\right)^{(n)}=(-1)^n\dfrac{a^n\,n!}{(ax+b)^{n+1}}$ （$a\ne0$）
莱布尼茨公式（乘积的 n 阶导数）
$(uv)^{(n)}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} C_n^k\,u^{(n-k)}v^{(k)}$
和 $(a+b)^n$ 的二项式展开同构，$C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$。
变上限积分求导 & 其他结论
▼变上限积分求导
$\left(\displaystyle\int_a^x f(t)dt\right)'=f(x)$
$\left(\displaystyle\int_a^{\varphi(x)} f(t)dt\right)'=f(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)$
$\left(\displaystyle\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t)dt\right)'=f(\psi(x))\cdot\psi'(x)-f(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)$
记忆要点：上限代入 × 上限导数 − 下限代入 × 下限导数
下限为常数时，该项为 0。
其他常用结论
$(x^x)'=x^x(\ln x+1)$ （$x>0$，由对数求导法）
反双曲函数（补充）：$(\mathrm{arsh}\,x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
$(\mathrm{arch}\,x)'=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ （$x>1$） $(\mathrm{arth}\,x)'=\dfrac{1}{1-x^2}$ （$|x|<1$）
经典例题
▼题目：设 $y=\sin(2x+1)$，求 $y'$。
套路：先外后内，逐层求导相乘，内层导数漏乘是最高频错误。
题目：设 $x^2+y^2=1$（$y>0$），求 $y'$ 与 $y''$。
题目：设 $x=\cos t,\;y=\sin t$（$t\in(0,\frac{\pi}{2})$），求 $\dfrac{dy}{dx}$ 与 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$。
注意：二阶导是 一阶导再对 $t$ 求导后除以 $x'(t)$，不是直接对 $\frac{dy}{dx}$ 求导。
题目：设 $y=x^x$（$x>0$），求 $y'$。
题目：求 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2}\sin t\,dt$。
常犯错误：忘记乘上限导数 $(x^2)'=2x$。
题目 1：求 $\sin x$ 的 10 阶导数 $f^{(10)}(x)$。
题目 2：设 $u=x^2,\;v=e^x$，用莱布尼茨公式求 $(uv)^{(3)}$。
套路：多项式和指数/三角相乘的高阶导，用莱布尼茨公式，项数 $n+1$ 有限，逐项写。
预备知识（公式速查）
▼立方公式
立方和：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
立方差：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
完全立方：$(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$
对数公式
恒等变形：$a=e^{\ln a}=\ln e^a$
乘法：$\ln ab=\ln a+\ln b$
除法：$\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$
换底：$\log_a b=\dfrac{\ln b}{\ln a}$
三角公式
两角和差：$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$
二倍角：$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
降幂：$\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos 2\alpha}{2}$，$\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2}$
和差化积：$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
特殊值
$\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,\;\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\;\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\;\sin\frac{\pi}{2}=1,\;\sin\pi=0$
$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},\;\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\;\cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\;\cos\frac{\pi}{2}=0,\;\cos\pi=-1$
$\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{3},\;\tan\frac{\pi}{4}=1,\;\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3$
正割余割 / 反三角 / 万能公式
$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$，$\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$
$\sec^2 x=1+\tan^2 x$，$\csc^2 x=1+\cot^2 x$
$\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}$，$\arctan x+\text{arccot}\,x=\dfrac{\pi}{2}$
分段恒等式：$\arctan x+\arctan\dfrac{1}{x}=\begin{cases}\dfrac{\pi}{2},&x>0\\[2pt]-\dfrac{\pi}{2},&x<0\end{cases}$ （$x\ne0$；做题先看定义域）
万能公式：$\sin 2x=\dfrac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$，$\cos 2x=\dfrac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$
基本概念 & 导积关系（基本积分表）
▼不定积分 = 找原函数（找谁干的）。常数随意进出，微分内任意加减常数。
$\int f(x)dx=F(x)+C \Leftrightarrow F'(x)=f(x)$
定/反常积分 = $F(x)\Big|_a^b=F(b)-F(a)$
幂函数 / 多项式
$\int x^\alpha dx=\dfrac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C\quad(\alpha\ne-1)$
$\int x\,dx=\frac12 x^2$，$\int x^2 dx=\frac13 x^3$
$\int \sqrt{x}\,dx=\frac23 x^{3/2}$，$\int x^{3/2}dx=\frac25 x^{5/2}$
$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$
$\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac1x$，$\int \frac{1}{x^3}dx=-\frac{1}{2x^2}$
$\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}$，$\int \frac{1}{\sqrt{x^3}}dx=-\frac{2}{\sqrt{x}}$
指数 / 对数
$\int a^x dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C$
$\int e^x dx=e^x+C$，$\int e^{-x}dx=-e^{-x}+C$
$\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C$
三角
$\int \sin x\,dx=-\cos x+C$，$\int \cos x\,dx=\sin x+C$
$\int \tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C$，$\int \cot x\,dx=\ln|\sin x|+C$
$\int \sec x\,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C$
$\int \csc x\,dx=\ln|\csc x-\cot x|+C$
$\int \sec^2 x\,dx=\tan x+C$，$\int \csc^2 x\,dx=-\cot x+C$
$\int \sec x\tan x\,dx=\sec x+C$，$\int \csc x\cot x\,dx=-\csc x+C$
含 $a^2\pm x^2$ / 根式
$\int \dfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$
$\int \dfrac{1}{a^2+x^2}dx=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+C$
$\int \dfrac{1}{1-x^2}dx=\frac12\ln\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right|+C$
$\int \dfrac{1}{a^2-x^2}dx=\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{a+x}{a-x}\right|+C$
$\int \dfrac{1}{x^2-a^2}dx=\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\dfrac{x}{a}+C$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$
根号内二次（必背）
$\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\dfrac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\dfrac{a^2}{2}\arcsin\dfrac{x}{a}+C$
$\int\sqrt{x^2\pm a^2}dx=\dfrac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}\pm\dfrac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$
常用导积关系（配对记忆）
$\left(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)'=\dfrac{1}{(1+x^2)^{3/2}}$ ⇔ $\displaystyle\int\dfrac{dx}{(1+x^2)^{3/2}}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}+C$
$\left(\ln(x+\sqrt{1+x^2})\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ ⇔ $\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\ln(x+\sqrt{1+x^2})+C$
注意：$\ln(x+\sqrt{1+x^2})=\mathrm{arsh}\,x$，第二条即反双曲正弦的导积关系。
常见高次幂积分（奇凑偶降）
sin/cos 奇次幂：凑微分（拿出一个作为微分，剩下偶次用 $1-\cos^2x$ 等降幂）
$\displaystyle\int\sin^3x\,dx=-\cos x+\frac13\cos^3x+C$
$\displaystyle\int\cos^3x\,dx=\sin x-\frac13\sin^3x+C$
sin/cos 偶次幂：降幂公式 $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$，$\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$
$\displaystyle\int\sin^2x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C$
$\displaystyle\int\cos^2x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}+C$
$\displaystyle\int\sin^4x\,dx=\frac{3x}{8}-\frac{\sin2x}{4}+\frac{\sin4x}{32}+C$
$\displaystyle\int\cos^4x\,dx=\frac{3x}{8}+\frac{\sin2x}{4}+\frac{\sin4x}{32}+C$
tan/cot 高次幂：降次套路 $\tan^2x=\sec^2x-1$，$\cot^2x=\csc^2x-1$
$\displaystyle\int\tan^2x\,dx=\tan x-x+C$ $\displaystyle\int\cot^2x\,dx=-\cot x-x+C$
$\displaystyle\int\tan^3x\,dx=\frac12\tan^2x+\ln|\cos x|+C$ $\displaystyle\int\cot^3x\,dx=-\frac12\cot^2x-\ln|\sin x|+C$
$\displaystyle\int\tan^4x\,dx=\frac13\tan^3x-\tan x+x+C$
sec/csc 三次幂：分部积分（重点）
$\displaystyle\int\sec^3x\,dx=\frac12(\sec x\tan x+\ln|\sec x+\tan x|)+C$
$\displaystyle\int\csc^3x\,dx=-\frac12(\csc x\cot x+\ln|\csc x+\cot x|)+C$
sec/csc 四次幂：偶次凑微分（$\csc^2x=1+\cot^2x$）
$\displaystyle\int\csc^4x\,dx=-\cot x-\frac13\cot^3x+C$
记忆：偶次凑微分（$\sec^2,\csc^2$ 直接背），奇次凑微分 + 分部（$\sec^3,\csc^3$ 结果对称）；tan/cot 高次：拆 $\tan^2=\sec^2-1$ 逐次降幂。
三大积分法
▼① 凑微分（第一类换元）
核心：$d\varphi(x)=\varphi'(x)dx$，把被积函数拆成 $f(\varphi(x))\varphi'(x)dx=f(u)du$。
常见凑微分：
• $x\,dx=\frac12 d(x^2)$ • $\frac{1}{x}dx=d(\ln x)$ • $\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2d(\sqrt{x})$
• $\frac{1}{1+x^2}dx=d(\arctan x)$ • $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=d(\arcsin x)$
• $\frac{1}{\sqrt{x\pm a}}dx=2d\sqrt{x\pm a}$ • $e^x dx=d(e^x)$
• $\cos x\,dx=d(\sin x)$，$\sin x\,dx=-d(\cos x)$
经典例：$\displaystyle\int\frac{x}{1+x^2}dx=\frac12\int\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}=\frac12\ln(1+x^2)+C$
套路：分子凑成分母的导数，整体换元 $u=1+x^2$。
② 分部积分
公式：$\int u\,dv=uv-\int v\,du$
列表法（上导下积）：对角相乘、正负相间、竖线积分。遇到障碍就平移。
导积寸止符：幂函数导数 → 0；循环积分 → $I$ 的常数倍；复杂情况 → 可积分时停。
选 $u$ 顺序（反对幂三指）：反三角 > 对数 > 幂函数 > 三角 > 指数。谁在前谁当 $u$。
行列式速算：$\int e^{\alpha x}\sin\beta x\,dx=\dfrac{e^{\alpha x}(\alpha\sin\beta x-\beta\cos\beta x)}{\alpha^2+\beta^2}$
$\int e^x\sin x\,dx=\frac12 e^x(\sin x-\cos x)+C$
$\int e^{2x}\sin x\,dx=\frac15 e^{2x}(2\sin x-\cos x)+C$
③ 换元法
三角代换（根号下平方和差）：
• $\sqrt{a^2-x^2}$：令 $x=a\sin t$
• $\sqrt{a^2+x^2}$：令 $x=a\tan t$
• $\sqrt{x^2-a^2}$：令 $x=a\sec t$
换回来时画三角形。
根式代换（根号下一次方）：$\sqrt[n]{ax+b}=t$；多个根取最小公倍数。
倒代换：令 $x=\frac1t$，适用分母次数较高。
万能代换：令 $\tan\frac{x}{2}=t$，则 $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$，$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$。适用三角有理式，计算量大，非必要不用。
整体代换：令复杂函数 $=t$。
定积分独有方法
▼奇偶性（对称区间偶倍奇零）
设 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上连续：
$\displaystyle\int_{-a}^a f(x)dx=\begin{cases}2\int_0^a f(x)dx,&f\text{ 偶}\\0,&f\text{ 奇}\end{cases}$
非奇非偶：$f(x)=\frac12[f(x)+f(-x)]+\frac12[f(x)-f(-x)]$，偶 + 奇拆开。
周期性
$f(x)$ 以 $T$ 为周期：$\displaystyle\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^T f(x)dx$。
从任何点开始积满一个周期都等于从 0 积满一个周期。
平移变换
区间不合适时换元：① 把区间移到题设条件给的区间；② 构造对称区间。
操作手法：区间减函数加 / 区间加函数减。
区间再现（核心理）
操作：令 $x=$ 上限 + 下限 $-t$。
$\displaystyle\int_a^b f(x)dx\;\xlongequal{x=a+b-t}\;\int_a^b f(a+b-t)dt$
适用：分子为分母的其中一项（如 $\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$）。
推论1：$\int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)dx=\pi\int_0^{\pi/2}f(\sin x)dx$。
推论2：$\int_0^{\pi/2}f(\sin x)dx=\int_0^{\pi/2}f(\cos x)dx$。
Wallis 公式
$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx=\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx=\begin{cases}\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac12\cdot\frac{\pi}{2},&n\text{ 偶}\\[4pt]\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac23,&n\text{ 奇}\end{cases}$
记住：偶乘半，奇乘 1。
cos/sin 高次幂定积分
$\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx=\frac{\pi}{4}$
$\int_0^\pi\cos^2 x\,dx=2\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx=\frac{\pi}{2}$
$\int_0^{2\pi}\cos^2 x\,dx=4\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx=\pi$
面积几何应用
$\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}$（上半圆面积）
$\int_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}\,dx=\frac{\pi R^2}{2}$
化简手法
▼拆项
① 分母有什么分子拆什么（方便约分）：$\frac{t^2}{t^2-1}=1+\frac{1}{t^2-1}$
② 一分为二（拆出自己需要的）：$e^{2x}=e^x\cdot e^x$，$x=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}$
核心公式：$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac1n-\dfrac{1}{n+1}$
提项（外面提，里面除）
① 提高次；② 提根号内一项；③ 提 $e^x$；④ 分子比分母高几次就提几次，然后拆项。
$\dfrac{x^3}{x^2+1}=x-\dfrac{x}{x^2+1}$
同除
① 除最高次；② 除 $e^x$：$\dfrac{1}{1+e^x}=\dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1}$；③ 二次四次除二次。
同乘
① 多项式差几次乘几次；② 利用平方差公式（分母有理化）；③ 同乘 $e^x$。
三角函数化简：$\dfrac{1}{1-\sin x}=\dfrac{1+\sin x}{\cos^2 x}=\sec^2 x+\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}$
配方（二次多项式）
① 根号内部二次多项式配完全平方：$\sqrt{4x-x^2}=\sqrt{4-(x-2)^2}$
② 质因式分母配方：$\dfrac{1}{x^2-x+1}=\dfrac{1}{(x-\frac12)^2+\frac34}$
经典题型
▼有理函数积分
分子次数 = 分母次数：拆项（多项式 + 真分式）。
分子次数 > 分母次数：先提项后拆项（多项式除法）。
分子次数 < 分母次数：
• 分母质因式：分母二次分子常数 → 先配方后凑微分（$\arctan$）。
• 分母二次分子一次：分子拆出分母的导数再配平，拆成 $\ln$ + $\arctan$ 两部分。
例：$\int\dfrac{x+5}{x^2-6x+13}dx=\frac12\ln(x^2-6x+13)+4\arctan\dfrac{x-3}{2}+C$
• 分母可因式分解：分子拆项或待定系数。
混合留数法 ⭐⭐⭐
① 括号里一次，括号外一次：$\dfrac{3x^2+1}{(x-1)(x-2)(x-5)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x-2}+\dfrac{C}{x-5}$，特值法取 $x=1,2,5$ 直接求。
② 括号里一次，括号外高次：$\dfrac{1}{(x-1)(x-2)^3}=\dfrac{C_1}{x-1}+\dfrac{C_2}{x-2}+\dfrac{C_3}{(x-2)^2}+\dfrac{C_4}{(x-2)^3}$，高次幂从低到高都要写。
③ 括号里二次，括号外一次：$\dfrac{2}{(x-1)(x^2+1)}=\dfrac{C_1}{x-1}+\dfrac{C_2 x+C_3}{x^2+1}$，分子比分母底数低一次。
三角函数组合积分（分子拆 A 倍分母 + B 倍分母导）
$\displaystyle\int\frac{C\sin x+D\cos x}{A\sin x+B\cos x}dx$：把分子拆成 $\;C\sin x+D\cos x=E(A\sin x+B\cos x)+F(A\sin x+B\cos x)'$
待定系数解出 $E,F$ 后：$\displaystyle\int=Ex+F\int\frac{(A\sin x+B\cos x)'}{A\sin x+B\cos x}dx=Ex+F\ln|A\sin x+B\cos x|+C$
例 求 $\displaystyle\int\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx$。
解：$\cos x=E(\sin x+\cos x)+F(\cos x-\sin x)$，对比系数：$E-F=0,\;E+F=1\Rightarrow E=F=\frac12$。
$\displaystyle\int=\frac12 x+\frac12\ln|\sin x+\cos x|+C$。
三角相关化简（5 招）+ 例题
(1) 1 的妙用：$1=\sin^2x+\cos^2x=\sin^2\square+\cos^2\square$；更进一步 $1=1^2=(\sin^2x+\cos^2x)^2$。
(2) cos 消 1（cos 二倍角）：$\cos2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1$。
变形：$\cos2x-1=-2\sin^2x\Rightarrow 1-\cos2x=2\sin^2x$；$\cos2x+1=2\cos^2x\Rightarrow 1+\cos2x=2\cos^2x$。
无 cos 用诱导公式创造：$\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$，再套二倍角。
(3) sincos 与 sin 转化（sin 二倍角）：$\sin2x=2\sin x\cos x\Rightarrow\sin x\cos x=\frac{\sin2x}{2}$；$\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$。
(4) sin+cos 转化为 sin（辅助角）：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$，$\tan\varphi=\frac{b}{a}$。
(5) 分母齐次结构：同除 $\cos$ 的几次方，往 $\tan$ 上靠。
例1 求 $\int\sin^2x\,dx$。
解：cos 消 1：$\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$，$\Rightarrow\int\sin^2x\,dx=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin2x}{4}+C$。
例2 求 $\int\dfrac{dx}{1+\sin x}$。
解：同乘 $1-\sin x$：$\dfrac{1}{1+\sin x}=\dfrac{1-\sin x}{\cos^2x}=\sec^2x-\dfrac{\sin x}{\cos^2x}$，积分 $=\tan x-\sec x+C$。
例3 求 $\int\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}dx$。
解：分母齐次，往 tan 靠：分子 $=$ 分母的导，$\displaystyle\int\frac{f'}{f}dx=\ln|\sin x-\cos x|+C$。
三角高次幂（奇偶规则）+ 例题
① $\sin,\cos$ 高次幂：奇数次凑微分（拆出一个），偶数次降幂（二倍角）。
② $\csc,\sec$ 高次幂：偶数次凑微分（凑 $\sec^2x,\csc^2x$），奇数次凑微分 + 分部。
例1 $\int\sin^3x\,dx$（奇次凑微分）。
解：$\int\sin^3x\,dx=\int(1-\cos^2x)\sin x\,dx=-\cos x+\dfrac{\cos^3x}{3}+C$。
例2 $\int\sin^2x\cos^2x\,dx$（偶次降幂）。
解：$\sin^2x\cos^2x=\dfrac{\sin^22x}{4}=\dfrac{1-\cos4x}{8}$，$\int=\dfrac{x}{8}-\dfrac{\sin4x}{32}+C$。
例3 $\int\sec^3x\,dx$（奇次凑微分 + 分部，经典结论）。
解：$\int\sec^3x\,dx=\dfrac12(\sec x\tan x+\ln|\sec x+\tan x|)+C$。
根号下加比减 / 减比加
① 根号下分式 → 解放分子；② 根号下乘积 → 两个因式解放一个。利用平方差同乘，拆成两项做。
变限积分的定积分
① 凑微分分部 ⭐⭐ ② 交换积分次序
求分段函数的不定积分
① 分段分别求，段 $C$ 不一定相同（写 $C_1,C_2$）。
② 原函数可导必连续：连续左极限 = 右极限，确定 $C_1,C_2$ 关系。
二重变限求极限 · Euler 不可求积
▼二重变限积分求极限
① 交换积分次序 + 洛必达；
② 二重积分中值定理：$f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 连续 ⇒ 存在 $(\xi,\eta)\in D$，使 $\displaystyle\iint_D f(x,y)\,dxdy=f(\xi,\eta)\,S_D$。
⚠️ 使用前提：被积函数在这个点（关键点）是非零因子。
Euler 可积不可求积（交换次序必考坑点）
可积：定积分存在；不可求积：求不出原函数。
$(1)\;e^{\pm x^2},\;e^{1/x},\;\dfrac1{\ln x}$
$(2)\;\sin x^2,\;\sin\dfrac1x,\;\dfrac{\sin x}{x}$
$(3)\;\cos x^2,\;\cos\dfrac1x,\;\dfrac{\cos x}{x}\cdots$
遇到它们：先交换积分次序（改变积分区域表达），不可直接求原函数。
准备工作：被积函数 & 区域对称性
▼被积函数是线性函数 $f=ax+by+c$
拆开，用形心公式：若区域 $D$ 形心 $(\bar x,\bar y)$，则 $\displaystyle\iint_D x\,dxdy=\bar x\,S_D$，$\displaystyle\iint_D y\,dxdy=\bar y\,S_D$。
形心（几何中心）= 对称轴交点。
带绝对值 / 最大最小值 / 取整
令绝对值内部等于零找到分界线；利用区域可加性分区域拆开计算。
区域对称性 · 偶倍奇零
关于 $x$ 轴对称：$\displaystyle\iint_D f=\begin{cases}2\iint_{D_{y>0}} f, & f(x,-y)=f(x,y)\\ 0, & f(x,-y)=-f(x,y)\end{cases}$ （$D$ 关于 $x$ 轴对称，$f$ 看 $y$ 的奇偶性）
关于 $y$ 轴对称：$\displaystyle\iint_D f=\begin{cases}2\iint_{D_{x>0}} f, & f(-x,y)=f(x,y)\\ 0, & f(-x,y)=-f(x,y)\end{cases}$ （$D$ 关于 $y$ 轴对称，$f$ 看 $x$ 的奇偶性）
关于原点对称：$f(-x,-y)=f(x,y)$ ⇒ $2\iint_{D_1}f$；$f(-x,-y)=-f(x,y)$ ⇒ $0$。
关于 $y=x$ 对称（轮换）
$D$ 关于 $y=x$ 对称 ⇔ $xy$ 互换 $D$ 不变 ⇔ 区域不等式组 / 边界方程中 $xy$ 互换不变。
广义轮换对称
$\displaystyle\iint_D f(x,y)dxdy=\iint_D f(y,x)dxdy$（$D$ 中 $xy$ 互换）。
整块区域用：$\displaystyle\iint_D f(x,y)=\iint_D f(y,x)=\frac12\iint_D \big[f(x,y)+f(y,x)\big]dxdy$
分两块用：将 $D$ 按 $y=x$ 分成 $D_1$（下方）、$D_2$（上方），$\displaystyle\iint_{D_2}f(x,y)=\iint_{D_1}f(y,x)$；若 $f(y,x)=f(x,y)$ ⇒ $2\iint_{D_1}$，若 $f(y,x)=-f(x,y)$ ⇒ $0$。
画图判断对称性（函数图画不出时）
① 描特殊点（如 $x=0,\,y=0$）；
② 替换检测：$x\to-x$ 表达式不变 ⇒ 关于 $y$ 轴对称；$y\to-y$ 不变 ⇒ 关于 $x$ 轴对称；$xy$ 互换不变 ⇒ 关于 $y=x$ 对称；$(x,y)\to(-x,-y)$ 不变 ⇒ 原点对称；$x\to-y,\,y\to-x$ 不变 ⇒ 关于 $y=-x$ 对称；
③ 化极坐标观察 $r,\theta$ 走势，秒点画图。
区域难以处理：做辅助线构造对称区域、增补区域。
直角坐标：X型/Y型 穿针法
▼X 型区域
先确定 $x$ 的范围；任取 $x$，沿 $y$ 轴正方向穿针确定 $y$ 范围：穿入为下限，穿出为上限。
$\displaystyle\iint_D f(x,y)dxdy=\int_a^b dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)\,dy$
Y 型区域
先确定 $y$ 的范围；任取 $y$，沿 $x$ 轴正方向穿针确定 $x$ 范围：穿入为下限，穿出为上限。
$\displaystyle\iint_D f(x,y)dxdy=\int_c^d dy\int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y)\,dx$
⚠️ 穿针定限铁律
穿针后定上下限应是从左到右、从下到上——上限一定要比下限大（交换次序后重新画图定限，勿照抄原式）。
反三角函数定限（高频易错）
$y=\sin x,\;x\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]\Rightarrow x=\arcsin y$；另一支 $x=\pi-\arcsin y$。
$y=\cos x,\;x\in[0,\pi]\Rightarrow x=\arccos y$；另一支 $x=2\pi-\arccos y$。
特殊适用
① 积分区域 $D$ 由参数方程给出（如摆线）——先用参数方程换限；
② 极坐标逆问题：题目给极坐标形式，先还原直角坐标区域。
极坐标 · 广义极坐标 · 偏心圆
▼极坐标变换
$\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}$，则 $dxdy=r\,d\theta\,dr$。
先确定 $\theta$ 范围；任取 $\theta$，从原点引射线确定 $r$ 范围：穿入为下限，穿出为上限。
$\displaystyle\iint_D f(x,y)dxdy=\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr$
适用情况（4 条）
① 被积函数含平方和（平方和消 $\theta$）；
② 积分区域出现平方和（圆、玫瑰线、双纽线）；
③ 区域以极坐标曲线给出（心形线、螺线）；
④ 被积函数为齐次（$xy$ 次数相同）函数 $f(y/x)$（齐次消 $r$）。
广义极坐标
推广 $r$ 和 $\theta$：$r$ 是 $(x,y)$ 到圆心的距离，$\theta$ 是与 $x$ 轴正方向的夹角；画小三角形确定关系。
两类重要的偏心圆
X 轴：$r=2a\cos\theta\;(a>0)$ ⇔ $r^2=2ar\cos\theta$ ⇔ $x^2+y^2=2ax$ ⇔ $(x-a)^2+y^2=a^2$；$r=-2a\cos\theta$ 在负半轴。
Y 轴：$r=2a\sin\theta\;(a>0)$ ⇔ $r^2=2ar\sin\theta$ ⇔ $x^2+y^2=2ay$ ⇔ $x^2+(y-a)^2=a^2$；$r=-2a\sin\theta$ 在负半轴。
简记：$r=\pm$ 直径 × $s/c$ —— +正半轴、−负半轴；a 半径、2a 直径；cos 对应 X 轴、sin 对应 Y 轴。
四分型（四重对称）
积分区域关于 $xy$ 轴对称（区域所有 $xy$ 套平方或绝对值）且被积函数关于 $xy$ 都为偶函数（被积函数所有 $xy$ 套平方或绝对值）： $\displaystyle\iint_D f(xy)dxdy=4\iint_{D_1} f(xy)dxdy$
先 r 后 θ（提醒）
步骤：① $xy$ 坐标系任取 $r$，以原点为圆心作圆弧交区域，看 $\theta$ 范围；② 建立 $\theta$-$r$ 坐标系穿针（相当于直角坐标换序）。考研从未考过，但务必重视。
二重换元（雅可比）· 平移变换
▼换元三步
① 觉得积分区域和被积函数里的哪两块不舒服，令其等于 $u,v$；② 解出 $x,y$；③ 换元三换：
区域换（$x,y$ 代入边界曲线）、被积函数换、微分换（雅可比行列式 $\times dudv$）。
雅可比行列式
令 $x=x(u,v),\,y=y(u,v)$，则 $J=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}$，
$\displaystyle\iint_D f(x,y)dxdy=\iint_{D'} f\big[x(u,v),y(u,v)\big]\,|J|\,dudv$ （取绝对值）
极坐标：$J=\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta\end{vmatrix}=r$。
一对一换元直接 $dx,dy$ 导出来（不用 $|J|$）；二对二换元用雅可比。
平移变换
$x,y$ 加减常数换成 $u,v$（如 $u=x-1,\,v=y+2$）：区域换、被积函数换、微分换，建立 $uv$ 坐标系。
附录：15 种常考图形曲线
▼反三角函数（注意定义域/值域）
$y=\arcsin x\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]$；$y=\arccos x\in[0,\pi]$；$y=\arctan x\in(-\frac\pi2,\frac\pi2)$；$y=\operatorname{arccot} x\in(0,\pi)$
三次 / 半立方抛物线
三次抛物线：$y=ax^3\;(a>0)$；半立方抛物线：$y^2=ax^3\;(a>0)$。
概率曲线 / 叶形线
概率曲线：$y=e^{-x^2}$（钟形）；
笛卡儿叶形线：$x^3+y^3-3axy=0$，参数 $\begin{cases}x=\frac{3at}{1+t^3}\\ y=\frac{3at^2}{1+t^3}\end{cases}$。
星形线 / 摆线
星形线（内摆线）：$\begin{cases}x=a\cos^3 t\\ y=a\sin^3 t\end{cases}$ 或 $x^{\frac23}+y^{\frac23}=a^{\frac23}\;(a>0)$；
摆线：$\begin{cases}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{cases}\;(a>0)$，最高点 $(\pi a,\,2a)$。
心形线 / 螺线
心形线（外摆线）：$x^2+y^2+ax=a\sqrt{x^2+y^2}$，极坐标 $\rho=a(1-\cos\theta)$；
阿基米德螺线：$\rho=a\theta$；对数螺线：$\rho=e^{a\theta}$；双曲螺线：$\rho\theta=a$。
伯努利双纽线（两种）
(a) $(x^2+y^2)^2=2a^2xy$，$\rho^2=a^2\sin2\theta$；
(b) $(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$，$\rho^2=a^2\cos2\theta$。
玫瑰线
三叶玫瑰线：$r=a\sin3\theta$ 或 $r=a\cos3\theta$；四叶玫瑰线：$r=a\sin2\theta$ 或 $r=a\cos2\theta$。
特殊反常积分（数一二重点）
▼指数零到无穷
$\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-\alpha x}dx=\frac{1}{\alpha}\quad(\alpha>0)$
泊松积分（Poisson）
$(1)\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$
$(2)\;\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}$
伽马函数 $\Gamma(\alpha)$
$\Gamma(\alpha)=\displaystyle\int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx\quad(\alpha>0)$
判断：看到 $x$ 的几次方就是 $\Gamma($几次方+1$)$。
例：$\int_0^{+\infty}x^2 e^{-x}dx=\Gamma(3)=2!=2$；$\int_0^{+\infty}\sqrt{x}\,e^{-x}dx=\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$。
性质：$\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$；$\Gamma(1)=1$，$\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$；正整数 $n$：$\Gamma(n+1)=n!$。
贝塔函数 $B(p,q)$
$B(p,q)=\displaystyle\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$
经典：$\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}=B(\frac12,\frac12)=\pi$
收敛性判别 · p级数模板（必背）
▼两类反常积分
① 无穷限积分：$\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)\,dx$（还有 $-\infty\to b$、$\pm\infty$ 混合）
② 瑕积分（无界函数）：$f(x)$ 在区间内有瑕点（如 $x\to a^+$ 时无界），例 $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}$
⭐ p 级数模板（核心判别，成对记）
无穷限：$\displaystyle\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^p}\;(a>0)$ ⇒ $p>1$ 收敛，$p\le 1$ 发散
瑕积分：$\displaystyle\int_0^{a}\frac{dx}{x^p}$（$x=0$ 为瑕点） ⇒ $p<1$ 收敛，$p\ge 1$ 发散
口诀：无穷限看"分母阶数压不压得住"（$p>1$ 收敛）；瑕积分结论恰好反过来（$p<1$ 收敛）。
常用等价模板
$\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{dx}{x\ln^p x}$：$p>1$ 收敛，$p\le 1$ 发散（对数比幂慢，$p=1$ 也发散）
$\displaystyle\int_0^{\frac12}\frac{dx}{x(\ln x)^p}$（瑕点 $0^+$）：$p<1$ 收敛，$p\ge 1$ 发散
$\displaystyle\int_0^{+\infty}x^n e^{-x}dx=\Gamma(n+1)$：任意 $n$ 必收敛（指数衰减压倒一切幂函数）
比较判别法（普通形式）
非负函数：$0\le f(x)\le g(x)$。$g$ 收敛 $\Rightarrow$ $f$ 收敛；$f$ 发散 $\Rightarrow$ $g$ 发散。
极限比较判别法（做题主武器）
无穷限：若 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^p f(x)=L$（$0<L<+\infty$），则 $\displaystyle\int^{+\infty} f(x)dx$ 与 $\displaystyle\int\frac{dx}{x^p}$ 同敛散。
实操：把 $f(x)$ 的各因子换成等价无穷大/小，凑出 $\dfrac{1}{x^p}$，判 $p$ 是否 $>1$。
瑕点 $x=a$：若 $f(x)\sim\dfrac{1}{(x-a)^p}$，则 $p<1$ 收敛、$p\ge1$ 发散。
绝对收敛 / 条件收敛
$\displaystyle\int|f(x)|dx$ 收敛 $\Rightarrow$ $\int f$ 绝对收敛；$\int f$ 收敛但 $\int|f|$ 发散 $\Rightarrow$ 条件收敛。
经典：$\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x^p}dx$：$p>1$ 绝对收敛；$0<p\le1$ 条件收敛（$p=1$ 即 Dirichlet 积分）
结论速查
$\dfrac{1}{x^p}$ 无穷限 $p>1$✓ | 瑕积分 $p<1$✓ | $e^{-x}$ 任意幂必收敛 | $\dfrac{\sin x}{x^p}$：$p>1$ 绝对、$0<p\le1$ 条件
例题
例1 判断 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{x}}$ 收敛性。
解：$\dfrac{1}{x\sqrt{x}}=\dfrac{1}{x^{3/2}}$，$p=\frac32>1$ ⇒ 收敛。
例2 判断 $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}$ 收敛性。
解：$\dfrac{1}{x^{1/3}}$，$p=\frac13<1$ ⇒ 收敛（瑕积分，结论与无穷限相反）。
例3 判断 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^2+1}dx$。
解：$x\to+\infty$ 时 $\dfrac{\arctan x}{x^2+1}\sim\dfrac{\pi/2}{x^2}$，$p=2>1$ 收敛；$x\to0$ 被积函数有界。 ⇒ 收敛。
概念 · 基准函数（审敛必备）
▼从正常积分到反常积分
正常积分 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ 需要两个条件：有限区间（$a,b$ 有限）+ 有界函数（$f$ 在 $[a,b]$ 有界）。破坏任一条件 → 反常积分：
① 无穷积分：区间无限——$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx$、$\int_{-\infty}^b f(x)dx$、$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$；
② 瑕积分：函数无界——某点 $x=c$（瑕点）附近 $f(x)\to\infty$，如 $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt x}$（$x=0$ 为瑕点）。
收敛速度直觉（先想再算）
无穷积分：函数趋于零的速度越快，越容易收敛（$e^{-x}$ 秒收；$\frac1{x^p}$ 要 $p>1$）。
瑕积分：函数趋于无穷的速度越慢，越容易收敛（$\frac1{\sqrt x}$ 在 $0$ 处收，$\frac1{x^2}$ 发）。
基准函数① 无穷限 $\dfrac{1}{x^p}$ 型
$\displaystyle\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$ 或 $\displaystyle\int_a^{+\infty}\frac{\ln x}{x^p}\,dx$ ⇒ $p>1$ 收敛，$p\le 1$ 发散
几何记忆：$p>1$ 曲线更快贴向 $x$ 轴、面积压得住 → 收；$p\le1$ 拖尾太宽 → 发。
基准函数② 无穷限带对数 $\dfrac{1}{x^p\ln^q x}$
$\displaystyle\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^p\ln^q x}$：$p>1$ 收；$p=1$ 时 $q>1$ 收、$q\le1$ 发；$p<1$ 发。
基准函数③ 瑕积分 · 一般瑕点 $x=c$
$a\le c\le b$：$\displaystyle\int_a^b\frac{dx}{(x-c)^p}$（或 $\dfrac{1}{(c-x)^p}$，$c$ 为瑕点）⇒ $0<p<1$ 收敛，$p\ge1$ 发散（结论与无穷限相反）。
基准函数④ 瑕点 $0^+$ 带对数 $\dfrac{1}{x^p|\ln x|^q}$
$\displaystyle\int_0^{a<1}\frac{dx}{x^p|\ln x|^q}$：$p<1$ 收；$p=1$ 时 $q>1$ 收、$q\le1$ 发；$p>1$ 发。
实操思路（做题顺序）
① 若多开口（同时有无穷限与瑕点），先拆区间化为单开口，逐段判断。
② 无穷积分：看 $x\to\infty$ 时被积函数——抓大头、不等式放缩，向基准函数靠拢。
③ 瑕积分：看 $x\to$ 瑕点时被积函数——等价无穷小、提非零因子、因式分解，向基准函数靠拢。
经典例题 · 审敛（真题手笔）
▼无穷限型
例1 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt x\,(x+1)}$：$x\to+\infty$，$\dfrac1{\sqrt x\,(x+1)}\sim\dfrac1{x^{3/2}}$，$p=\frac32>1$ ⇒ 收
例2 $\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{x^{3/2}}{1+x^2}dx$：$x\to+\infty\sim\dfrac1{x^{1/2}}$，$p=\frac12<1$ ⇒ 发（与 $\frac1{x^{1/2}}$ 之比 $\to+\infty$）
例3 $\displaystyle\int_e^{+\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^2}$：即 $\frac1{x\ln^2 x}$，$p=1,\,q=2>1$ ⇒ 收
例4 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{x^2}{3x^4-x^3+1}dx$：分母 $3x^4-x^3+1$ 判别式 $\Delta<0$ 恒正，$x\to\infty\sim\dfrac1{3x^2}$ ⇒ 收
例5 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin^2x}{x^2}dx$：$\dfrac{\sin^2x}{x^2}\le\dfrac1{x^2}$，大收则小收 ⇒ 收
例6 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt x}dx$：与 $\frac1x$ 比 $\dfrac{\ln x/\sqrt x}{1/x}=\ln x\cdot x^{1/2}\to+\infty$，小散则大散 ⇒ 发
例7 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{\ln x}$：拆 $\int_1^2+\int_2^{+\infty}$；$x\to1^+$ 时 $\dfrac1{\ln x}\sim\dfrac1{x-1}$（$p=1$ 发）⇒ 整体 发
瑕积分型
例8 $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt x\,(x+1)}$：$x\to0^+$，$\dfrac1{\sqrt x\,(x+1)}\sim\dfrac1{x^{1/2}}$，$p=\frac12<1$ ⇒ 收
例9 $\displaystyle\int_0^1\frac{\ln x}{\sqrt x}dx$：与 $\dfrac1{x^{3/4}}$ 比 $\dfrac{\ln x/\sqrt x}{1/x^{3/4}}=\ln x\cdot x^{1/4}\to0$，而 $\int_0^1 x^{-3/4}dx$ 收（$\frac34<1$），大收则小收 ⇒ 收
例10 $\displaystyle\int_1^2\frac{dx}{\ln x}$：$x\to1^+$，$\dfrac1{\ln x}\sim\dfrac1{x-1}$，$p=1$ ⇒ 发
例11 $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\ln x}$：改写 $-\displaystyle\int_0^1\frac{-dx}{\ln x}$，$-\dfrac1{\ln x}\sim-\dfrac1{x-1}$ ⇒ 发
例12 $\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\frac{dx}{\sqrt{\cos x\sin x}}$：拆 $\int_0^{\frac\pi4}+\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}$；$x\to0^+$ 时 $\sim\dfrac1{\sqrt x}$ 发 ⇒ 整体 发（$x\to\frac\pi2^-$ 段 $\sim\dfrac1{(\frac\pi2-x)^{1/2}}$ 本应收）
例13 $\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\frac{\ln(\sin x)}{\sqrt x}dx$：$x\to0^+$ 与 $\dfrac1{x^{1/4}}$ 比 $\to0$，大收则小收；$x\to\frac\pi2^-$ 有界 ⇒ 收
区间内部有瑕点（多开口）
例14 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x\ln^2x}$：拆 $\int_0^{\frac12}+\int_{\frac12}^1+\int_1^2+\int_2^{+\infty}$。$x\to1^+$ 时 $\dfrac1{x\ln^2x}\sim\dfrac1{(x-1)^2}$（$p=2\ge1$）发 ⇒ 整体 发（区间内瑕点 $x=1$，拆开单独判）
已知收敛 · 确定参数范围
▼套路：拆区间 → 两端分别定 $\alpha$ → 交集
例1 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\ln(1+x^2)}{x^\alpha}dx$ 收敛，求 $\alpha$。
$I=\int_0^1+\int_1^{+\infty}$；
$x\to0^+$：$\ln(1+x^2)\sim x^2$，$\dfrac{x^2}{x^\alpha}=\dfrac1{x^{\alpha-2}}$，需 $\alpha-2<1$ ⇒ $\alpha<3$；
$x\to+\infty$：$\dfrac{\ln x^2}{x^\alpha}=\dfrac{2\ln x}{x^\alpha}\sim\dfrac1{x^\alpha}$，需 $\alpha>1$ ⇒ $\alpha>1$。
⇒ 交集 $1<\alpha<3$
例2 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin\frac1x}{x^\alpha}dx$ 收敛，求 $\alpha$。
$I=\int_0^1+\int_1^{+\infty}$；
$x\to0^+$：$\Big|\dfrac{\sin\frac1x}{x^\alpha}\Big|\le\dfrac1{x^\alpha}$，收 $\Leftrightarrow$ $\alpha<1$；
$x\to+\infty$：$\sin\frac1x\sim\frac1x$，$\dfrac{1/x}{x^\alpha}=\dfrac1{x^{\alpha+1}}$，需 $\alpha+1>1$ ⇒ $\alpha>0$。
⇒ 交集 $0<\alpha<1$
例3 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^\alpha(1+x)}dx$ 收敛，求 $\alpha$。
$I=\int_0^1+\int_1^{+\infty}$；
$x\to0^+$：$\arctan x\sim x$，$\dfrac{x}{x^\alpha}=\dfrac1{x^{\alpha-1}}$，需 $\alpha-1<1$ ⇒ $\alpha<2$；
$x\to+\infty$：$\arctan x\to\frac\pi2$，$\sim\dfrac{\pi/2}{x^{\alpha+1}}$，需 $\alpha+1>1$ ⇒ $\alpha>0$。
⇒ 交集 $0<\alpha<2$
小结
此类题两端结论常为"$\alpha$ 小于某数 且 大于某数"，最终取交集；注意 $x\to0^+$ 用等价（$\ln(1+x^2)\sim x^2$、$\arctan x\sim x$、$\sin\frac1x$ 有界），$x\to+\infty$ 抓大头。
总纲 · 微元法 · 平均值
▼考试大纲速览
数一/数二：掌握用定积分表达和计算几何量与物理量——函数平均值、平面图形面积、平面曲线弧长、旋转体体积及侧面积、平行截面面积已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心。
数三：会利用定积分计算平面图形面积、旋转体体积和函数平均值；会利用定积分求解简单的经济应用问题。
微元法（万能核心）
① 取任意一点 $x$，波动到 $x+dx$，取一小块近似研究；② 积分做累加。
口诀：先切小块、近似替代、求微元、再积分（$dU \approx$ 小量表达式，$U=\int dU$）。
平均值
$\bar{y}=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$（函数在区间上的平均值 = 区间积分 ÷ 区间长度）。
平面图形面积
▼直角坐标
前置条件：由曲线 $y=f(x)$、$y=g(x)$ 与直线 $x=a$、$x=b$ 围成的区域（$f(x)\ge g(x)$ 时，面积 = 上减下）。
公式：$S=\displaystyle\int_a^b\big[\,f(x)-g(x)\,\big]dx$（必要时分段取绝对值）。
⭐ 遇到单调函数可转反函数：出现 $\ln$ 就换成指数形式，把 $x$ 写成 $y$ 的函数、对 $y$ 积分——绕开 $e^{f(x)}$ 的难积分。典型：$y=\ln x$ 围成面积改为 $x=e^y$。
极坐标（完整套路）
前置条件：曲线由极坐标方程 $r=r(\theta)$ 给出（$\alpha\le\theta\le\beta$），所求面积是曲线 $r=r(\theta)$ 与射线 $\theta=\alpha$、$\theta=\beta$ 围成的"扇形型"区域（从极点出发、角度扫过 $[\alpha,\beta]$）。
微元推导：取角度微元 $d\theta$，该角度内曲线近似为圆弧，面积微元为扇形：$dA=\dfrac12\,d\theta\cdot r^{2}(\theta)$；对 $\theta$ 累加积分。
公式：$A=\dfrac12\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r^{2}(\theta)\,d\theta$。
⭐ 两曲线围成面积：$r=r_1(\theta)$、$r=r_2(\theta)$（$r_1\ge r_2$），$A=\dfrac12\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\big[\,r_1^{2}(\theta)-r_2^{2}(\theta)\,\big]d\theta$；先解交点角度 $r_1(\theta)=r_2(\theta)$ 定出 $\alpha,\beta$。
⭐ 对称性简化：图形关于极轴（$\theta=0$）或直线 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ 对称时，先算一半再乘 2（典型：圆、心脏线 $r=a(1+\cos\theta)$）。
⚠ 易错：$r(\theta)$ 取负值的段（内摆线等）需分段按 $r\ge0$ 处理；不要把 $r$ 当直角坐标的 $y$ 直接积分。
参数方程
公式：$S=\displaystyle\int_a^b y(t)\,x'(t)\,dt$（$t$ 从 $a$ 到 $b$ 扫过曲线与 $x$ 轴围成区域；注意符号，必要时取绝对值）。
旋转体体积
▼绕 $x$ 轴（竖着切微元）：$V=\pi\displaystyle\int_a^b\big[\,f(x)\,\big]^{2}dx$。
绕 $y$ 轴（横着切微元）：$V=\pi\displaystyle\int_c^d\big[\,\varphi(y)\,\big]^{2}dy$（反解 $x=\varphi(y)$）；或壳层法 $V=2\pi\displaystyle\int_a^b x\,f(x)\,dx$。
⭐ 绕平行线转（平移）——垫圈法：绕 $y=k$ 转，$V=\pi\displaystyle\int_a^b\left[(k-f_下)^{2}-(k-f_上)^{2}\right]dx$（外半径² − 内半径²）。
⭐ 单调函数横着取微元：取一点 $y$，波动 $+dy$，反解 $x$ 算出微元体积，再对 $y$ 积分。
绕斜线转：一般用二重积分（点到直线距离作半径的圆盘积分），少数题掌握思路即可。
弧长 · 侧面积 · 平行截面体积
▼弧长
直角坐标：$y=f(x)$：$L=\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^{2}}\,dx$；$x=\varphi(y)$：$L=\displaystyle\int_c^d\sqrt{1+\left[\varphi'(y)\right]^{2}}\,dy$。
参数方程：$L=\displaystyle\int_a^b\sqrt{x'^{2}(t)+y'^{2}(t)}\,dt$。
极坐标：$L=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^{2}(\theta)+r'^{2}(\theta)}\,d\theta$。
⭐ 计算手法——完全平方：根号内凑成完全平方（$1+(y')^{2}$ 化成 $(1\pm\cdots)^{2}$），根号直接开出、积分立即化简。典型：$y'=x$、$y'=\tan\dfrac{x}{2}$ 等构型。
旋转体侧面积
直角：$S=2\pi\displaystyle\int_a^b y\sqrt{1+y'^{2}}\,dx$（周长 $\times$ 弧长微元）。
参数：$S=2\pi\displaystyle\int_a^b y(t)\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}\,dt$；极坐标：$S=2\pi\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r\sin\theta\,\sqrt{r^{2}+r'^{2}}\,d\theta$。
平行截面面积已知的立体体积
$V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$（$A(x)$ 为垂直于 $x$ 轴的截面面积）。
物理应用（数一/数二）
▼做功：$W=\int F\,ds$；恒力 $W=FS=mgs=\rho v g s$。
抽水做功（核心套路）：把水提上去做功 = 克服重力做功。方法：切片上提——取厚度 $dy$ 的薄片，体积 $dV=A(y)\,dy$，质量 $\rho\,dV$，提升高度为水片到出水口的高度 $h(y)$：$W=\rho g\displaystyle\int h(y)\,dV$。
液体压力：$F=PS=\rho g h s$（$h$ 为深度）；不规则板用微元 $dF=\rho g\,h(y)\cdot w(y)\,dy$（$w$ 为该深度处的宽度）。
万有引力：$F=G\dfrac{m_1 m_2}{r^{2}}$；杆与质点错位放置时水平方向分力抵消，只关注垂直方向分力。
线密度：$\rho_l=$ 质量 ÷ 长度；线密度为 1 时质量 = 长度；单位质点质量取 1。
⭐ 求小条长度的方法：① $x$ 代入直线方程解 $y$（得长度的一半）；② 求直线方程：两点求斜率套点斜式，或"扭头观察法"；③ 遇到圆直接用勾股定理。
⭐ 两点 + 一点移动：垂直方向分力与位移方向垂直不做功，只关注水平方向、与位移同向的力（用 $\tan\theta$ 分解）。
形心质心 · 经典例题
▼形心 / 质心
平面薄片（面）：$\bar{x}=\dfrac{\iint_D x\,d\sigma}{A}$，$\bar{y}=\dfrac{\iint_D y\,d\sigma}{A}$（$A$ 为面积；密度均匀时形心 = 质心）。
平面曲线（线）：$\bar{x}=\dfrac{\int_L x\,ds}{L}$，$\bar{y}=\dfrac{\int_L y\,ds}{L}$（$ds$ 为弧长微元）。
一维简化（绕 $x$ 轴旋转体的质心）：$\bar{x}=\dfrac{\int_a^b x\,f(x)\,dx}{\int_a^b f(x)\,dx}$。
经典例题
例1 · 面积（直角坐标）：求 $y=x^{2}$ 与 $y=2x$ 围成的面积。
解：交点 $x=0,\,2$，$S=\displaystyle\int_0^2(2x-x^{2})\,dx=\left[x^{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_0^2=\dfrac{4}{3}$。
例2 · 旋转体体积：$y=\sqrt{x}$ 与 $x=1$、$x$ 轴围成区域绕 $x$ 轴旋转一周的体积。
解：$V=\pi\displaystyle\int_0^1 x\,dx=\dfrac{\pi}{2}$。
例3 · 弧长（完全平方）：求 $y=\dfrac{x^{2}}{2}$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 的弧长。
解：$L=\displaystyle\int_0^1\sqrt{1+x^{2}}\,dx=\dfrac12\left[\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})\right]$。
例4 · 抽水做功：半径 $r$、高 $h$ 的圆柱水槽装满水，抽到顶部需做功。
解：薄片 $dV=\pi r^{2}dy$，提升高度 $h-y$：$W=\rho g\displaystyle\int_0^h \pi r^{2}(h-y)\,dy=\dfrac12\rho g\pi r^{2}h^{2}$。
例5 · 形心：均匀半圆薄片（半径 $R$）的形心。
解：对称性 $\bar{x}=0$；$\bar{y}=\dfrac{\int_0^{R}y\cdot 2\sqrt{R^{2}-y^{2}}\,dy}{\dfrac12\pi R^{2}}=\dfrac{4R}{3\pi}$。
一阶微分方程（四大模板套路）
▼① 可分离变量（最先判断）
形如 $y'=f(x)g(y)$：$\dfrac{dy}{g(y)}=f(x)dx$，两边分别积分。
② 齐次方程
形如 $y'=\varphi\left(\dfrac{y}{x}\right)$（右边只含 $y/x$）：令 $u=\dfrac{y}{x}$，则 $y=ux$，$y'=u+xu'$，化为可分离变量。
③ 一阶线性（公式法）⭐⭐
$y'+P(x)y=Q(x)$ 通解：$y=e^{-\int Pdx}\left[\int Q\,e^{\int Pdx}dx+C\right]$
要点：① 先化成标准形 $y'+P(x)y=Q(x)$；② $\int Pdx$ 只取一个原函数（不加 $C$）；③ 缺 $Q$ 时即齐次，$y=Ce^{-\int Pdx}$。
④ 伯努利方程
$y'+P(x)y=Q(x)y^n\;(n\ne0,1)$：两边同除 $y^n$，令 $z=y^{1-n}$，化为 $z'+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$ 一阶线性。
⑤ 全微分方程
$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$，若 $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$：$u=\int P\,dx+\int\left(Q-\frac{\partial}{\partial y}\int P\,dx\right)dy$，通解 $u=C$。
可降阶的二阶方程
▼类型1：$y''=f(x)$
直接积分两次：$y'=\int f(x)dx+C_1$，$y=\int\left[\int f(x)dx\right]dx+C_1x+C_2$。
类型2：$y''=f(x,y')$（缺 $y$）
令 $p=y'$，则 $y''=p'$：$p'=f(x,p)$ 化为一阶，解出 $p$ 再积分一次。
类型3：$y''=f(y,y')$（缺 $x$）⭐
令 $p=y'$，把 $y$ 当自变量：$y''=\dfrac{dp}{dx}=p\dfrac{dp}{dy}$，化为 $p\dfrac{dp}{dy}=f(y,p)$ 一阶。
易错：此时 $p$ 是 $y$ 的函数，积分别忘最后再换回 $y'=\dfrac{dy}{dx}$。
二阶常系数线性 · 齐次通解
▼$y''+py'+qy=0$ 特征方程：$r^2+pr+q=0$
① 两不等实根 $r_1\ne r_2$：$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
② 二重根 $r_1=r_2=r$：$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$
③ 共轭复根 $r=\alpha\pm i\beta$：$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
口诀：两实根各自指数；重根补一个 $x$；复根指数乘三角。
二阶常系数线性 · 非齐次特解
▼$y''+py'+qy=f(x)$：通解 = 齐次通解 + 一个特解 $y^*$（先求齐次，再设特解）。
情形1：$f(x)=P_n(x)e^{\lambda x}$
设 $y^*=x^k Q_n(x)e^{\lambda x}$：$Q_n$ 为 $n$ 次待定多项式（系数全设 $a_0\ldots a_n$）；$k$ 为 $\lambda$ 作为特征根的重数（不是特征根 $k=0$，单根 $k=1$，重根 $k=2$）。
情形2：$f(x)=e^{\lambda x}[P_m(x)\cos\beta x+Q_n(x)\sin\beta x]$
设 $y^*=x^k e^{\lambda x}[R_l(x)\cos\beta x+S_l(x)\sin\beta x]$，其中 $l=\max(m,n)$，$k$ 为 $\lambda\pm i\beta$ 作为特征根的重数。
叠加原理
$f(x)=f_1(x)+f_2(x)$ 时：分别设特解 $y_1^*,y_2^*$，相加即可。
易错三连：① 特解多项式次数取 $\max$；② 千万别漏 $x^k$；③ 三角情形 $\sin,\cos$ 的 $l$ 次多项式都要设齐。
欧拉方程 & 解题套路总览
▼欧拉方程
$x^2y''+pxy'+qy=f(x)$：令 $x=e^t$、$D=\dfrac{d}{dt}$，则 $xy'=Dy$，$x^2y''=D(D-1)y$，化为常系数线性方程。
例：$x^2y''-2xy'+2y=0$ → 令 $x=e^t$：$[D(D-1)-2D+2]y=0$ → $r^2-3r+2=0$，$r=1,2$，$y=C_1e^t+C_2e^{2t}=C_1x+C_2x^2$。
解题套路总览（拿到题先问四句）
① 几阶？ 一阶 → 四模板依次试（可分离/齐次/线性/伯努利）；二阶 → 看可降阶 or 常系数。
② 缺什么？ 二阶缺 $y$ 或缺 $x$ → 可降阶换元；不缺 → 常系数特征方程。
③ 非齐次？ 先齐次通解，再按 $f(x)$ 设特解、待定系数。
④ 有初值？ 通解求完再代初值定常数，别中途代。
经典真题（带解析）
▼真题1 · 一阶线性
求微分方程 $xy'+(1-x)y=e^x$ 的通解。
解：化为 $y'+\dfrac{1-x}{x}y=\dfrac{e^x}{x}$，$P=\dfrac{1-x}{x}$，$\int Pdx=\ln x-x$。
$y=e^{x-\ln x}\left[\int \dfrac{e^x}{x}e^{\ln x-x}dx+C\right]=e^{x-\ln x}(x+C)=\dfrac{e^x}{x}(x+C)$。
真题2 · 二阶齐次
求 $y''-3y'+2y=0$ 的通解。
解：特征方程 $r^2-3r+2=(r-1)(r-2)=0$，$r_1=1,r_2=2$，通解 $y=C_1e^x+C_2e^{2x}$。
真题3 · 非齐次特解形式（选择题高频）
微分方程 $y''-2y'+y=3xe^x$ 的特解应设为下列哪种形式？
解：特征 $(r-1)^2=0$，$\lambda=1$ 是二重特征根；$f$ 中 $P_1(x)=3x$ 一次 → $Q_1(x)=ax+b$。故 $y^*=x^2(ax+b)e^x$。（$x$ 的幂次取 $k=2$ 是本题陷阱点）
真题4 · 可降阶（缺 $x$）
求 $y''=(y')^2$ 满足 $y(0)=1,\;y'(0)=1$ 的解。
解：缺 $x$：令 $p=y'$，$y''=p\dfrac{dp}{dy}$：$p\dfrac{dp}{dy}=p^2$ → $\dfrac{dp}{dy}=p$ → $p=C_1e^y$。
由 $p(0)=1,y(0)=1$：$1=C_1e$ → $C_1=e^{-1}$，$\dfrac{dy}{dx}=e^{y-1}$ → $e^{1-y}=1-x$，即 $y=1-\ln(1-x)$。
真题5 · 伯努利
求 $y'+y=xy^2$ 的通解。
解：$n=2$：同除 $y^2$ 得 $y^{-2}y'+y^{-1}=x$，令 $z=y^{-1}$：$-z'+z=x$，即 $z'-z=-x$。
一阶线性：$z=e^x\left[\int(-x)e^{-x}dx+C\right]=e^x(xe^{-x}+e^{-x}+C)=x+1+Ce^x$，故 $y=\dfrac{1}{x+1+Ce^x}$。
考试大纲 · 核心概念
▼考试内容（按章节）
一阶：可分离变量 · 齐次方程 · 一阶线性 · 伯努利（数一）· 全微分（数一二）· 简单变量代换
高阶：可降阶（数一二）· 线性解的结构定理 · 二阶常系数齐次/非齐次 · 高于二阶常系数齐次 · 欧拉（数一二）· 二阶变系数
应用与差分：微分方程简单应用 · 差分概念/通解特解 · 一阶常系数线性差分方程（数三）
考试要求（浓缩 9+3 条）
① 掌握可分离与一阶线性；② 会解齐次、伯努利、全微分；③ 会用降阶法；④ 理解线性解的结构；⑤ 掌握二阶常系数齐次（含高阶）；⑥ 会解非齐次特解（多项式/指数/三角和与积）；⑦ 会解欧拉方程；⑧ 会用微分方程解应用问题；⑨（数三）了解差分方程并会解一阶常系数线性差分。
五个核心概念
微分方程：含未知函数导数与自变量关系的方程；阶：导数的最高阶数。
解：满足方程的函数；通解：含与阶相同个数任意常数的解；特解：不含任意常数的解；初始条件：确定任意常数的一组条件。
线性方程解的结构定理（概念题高频）
▼四条核心性质
① 齐次解的线性组合仍为齐次解：$y_1,y_2$ 是 $y''+P(x)y'+Q(x)y=0$ 的解 ⇒ $C_1y_1+C_2y_2$ 仍是齐次解。
② 齐次解 + 非齐次解 = 非齐次解：$\bar y$ 齐次解 + $y^*$ 非齐次解 ⇒ $\bar y+y^*$ 是非齐次方程 $y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$ 的解。
③ 非齐次解之差为齐次解：$y_1^*,y_2^*$ 均为非齐次解 ⇒ $y_1^*-y_2^*$ 是齐次方程的解。
④ 非齐次解的线性组合：$C_1y_1^*+C_2y_2^*$——系数和为 $0$ ⇒ 齐次解；系数和为 $1$ ⇒ 非齐次解。
解题应用
知道非齐次方程的一个特解 $y^*$ 与齐次通解 $Y$，则非齐次通解 $=Y+y^*$；给两个非齐次特解求通解时，先作差得齐次解。
一阶方程 · 类型识别决策树
▼① 可分离变量
识别：能写成 $g(y)\,dy=f(x)\,dx$——dx 前面是 y、dy 前面是 x。两端直接积分。
② 齐次结构
一侧为 $\dfrac yx$ 的函数：$\dfrac{dy}{dx}=f\!\Big(\dfrac yx\Big)$ ⇒ 令 $u=\dfrac yx$（整体代换 5 步：$u=\frac yx$ → $y=ux$ → $y'=u+xu'$ → 代入化为 $u$ 关于 $x$ 的可分离 → 积分解 $u$ 再代回）。
③ 一侧为"框框"的函数（如 $f(x+y)$、$f(x^2-y^2)$）
整体代换：令框框 $=u$ → 等式两端对 $x$ 求导 → 代入题干化为 $u$ 关于 $x$ 的可分离 → 两端积分 → 转化回去。
④ 非齐次结构（多项式交叉项）
看 $x,y$ 最高次：
$x$ 最高次比 $y$ 次数高 ⇒ 同除 dx → 化为 $y$ 关于 $x$ 的一阶线性；
$y$ 最高次比 $x$ 次数高 ⇒ 同除 dy → 化为 $x$ 关于 $y$ 的一阶线性；
最高次相同 ⇒ 先按第一种尝试，行不通再颠倒 $\dfrac{dy}{dx}$。
⑤ 一阶线性识别
标准形 $y'+P(x)y=Q(x)$；变形：框框 $y'$（除以框框）、$xy'$（除以 $x$）、$2yy'$（除以 $2y$）、三角 $y'$（同除三角）。
⑥ 全微分方程（数一二）
$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ 且 $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$ ⇒ 全微分。解法三选：①偏积分 ②全微分（观察法） ③取折线（二类线）积分。
⑦ Bernoulli 方程（数一）
$y'+P(x)y=Q(x)y^{\alpha}$（$\alpha\ne0,1$）⇒ 令 $z=y^{1-\alpha}$，化为 $z$ 的一阶线性（消右边 $y$、左边凑 $z'$）。
差分方程（数学三）
▼基本概念
一阶差分：$\Delta y_n=y_{n+1}-y_n$。
二阶差分：$\Delta^2y_n=\Delta y_{n+1}-\Delta y_n=y_{n+2}-2y_{n+1}+y_n$——差两次转化为一阶差分。
一阶常系数线性差分方程
$y_{n+1}+a\,y_n=f(n)$（$a$ 为常数）：
齐次通解：$y_n^h=C(-a)^n$。
特解按 $f(n)$ 设：$f(n)$ 为常数 ⇒ 设 $y_n^*=A$（$a\ne-1$ 时）；$f(n)$ 为多项式/指数 ⇒ 按微分方程待定系数同法。
通解 $=y_n^h+y_n^*$。
综合题套路（导数定义/变限积分/变区域）
▼① 导数定义型
含 $\Delta x$：① 同除 $\Delta x$；② 等式两端同时取极限；③ 分离变量后两端同时对 $x$ 积分。
含 $f(x+y)$：写导数定义，套题干方程。
② 含变限积分型
$f$ 连续：两端求导化为微分方程。
$f$ 无穷阶可导且含初始条件：如果导下去能做就一直导；若导出来变成高阶变系数（做不下去）就不导了，改为重新构造辅助函数（换元）。
关键代换：令变限积分 $=\displaystyle\int_a^x g(t)dt$，则 $f(x)=g'(x)$（令变限积分 $=g(x)$，则 $f=g'$）。
③ 导数应用（几何列方程）
切线/法线、切点为动点：写出斜率 $\dfrac{dy}{dx}$ 关系列方程（同除 $dx$；必要时同除 $\dfrac{dy}{dx}$ 前的系数）。
④ 变区域二重积分 / 变端点定积分
二重积分：积分区域含参数 $t$（变区域）⇒ 先交换积分次序，再对 $t$ 求导（或洛必达）。
定积分应用：面积、体积端点为动点 ⇒ 列变上限积分再求导。
行列式：定义 · 性质 · 重要行列式
▼相关定义
逆序数：$1,2,\dots,n$ 的全排列中，前后次序与标准次序不同的数对称为逆序，逆序总数记 $\tau$。
行列式定义：$\displaystyle\sum_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$，即 $n!$ 项不同行不同列元素乘积的代数和（2、3 阶满足对角线法则）。
余子式 $M_{ij}$：划去第 $i$ 行第 $j$ 列；代数余子式$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，与第 $i$ 行、第 $j$ 列元素无关。
行列式性质
(1) 行列互换值不变；
(2) 两行（列）互换变号；
(3) 提公因子；
(4) 拆行（列）分配；
(5) 一行乘 $k$ 加到另一行，值不变；
推论：两行（列）成比例 ⇒ 行列式为零。
行列式公式（A、B 为 n 阶矩阵）
(1) $|kA|=k^n|A|$；
(2) $|AB|=|A||B|$；
(3) $|A^T|=|A|$；
(4) $|A^{-1}|=|A|^{-1}$；
(5) $|A^*|=|A|^{n-1}$；
(6) 特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$，则 $|A|=\prod_{i=1}^n\lambda_i$；
(7) 若 $A\sim B$，则 $|A|=|B|$。
按行（列）展开定理
$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=\begin{cases}|A|,&i=j\\ 0,&i\ne j\end{cases}$
元素 $\times$ 自己行的代数余子式 $=$ 行列式（自交）；元素 $\times$ 别的行的代数余子式 $=0$（互交）。
重要行列式（结论直接背）
上下三角主对角：$=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$；
上下三角副对角：$=(-1)^{\frac{n(n-1)}2}a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1}$；
行（列）和相等 ⇒ 转化为上下三角（每列加到第一列提公因式）；
范德蒙：$D_n=\prod_{1\le j<i\le n}(x_i-x_j)$（找关键行/列依次作差）；
爪形（箭头） ⇒ 转化为上三角：$=(\text{首数}-\text{各平方和})\times\text{对角积}$；
同行（列）同数 ⇒ 转化为爪形；
X 形、弓形、么字形：作差后按展开定理算；
ab 型：$\begin{vmatrix}a&b&\cdots&b\\ b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b&b&\cdots&a\end{vmatrix}=\big[a+(n-1)b\big](a-b)^{n-1}$；
三对角（难）：$D_n=\begin{cases}(n+1)\alpha^n,&\alpha=\beta\\ \dfrac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha-\beta},&\alpha\ne\beta\end{cases}$；
拉普拉斯：$\begin{vmatrix}A&C\\ O&B\end{vmatrix}=|A||B|$；$\begin{vmatrix}C&A\\ B&O\end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A||B|$（$A$ 为 $m$ 阶、$B$ 为 $n$ 阶）。
Cramer 法则（不重要）
系数行列式 $D\ne0$ ⇒ 唯一解 $x_j=\dfrac{D_j}{D}$（$D_j$ 为把第 $j$ 列换成常数列）。
推论（齐次）：只有零解 ⇔ $D\ne0$；有非零解 ⇔ $D=0$。
（代数）余子式求和技巧
余子式求和：转化为代数余子式求和（角标和为奇数添负号、偶数不变）；
具体代数余子式求和：把所求行换成系数，构造新行列式；
与行/列元素之和结合：设出来——把每一列都加到第一列，提数字，再用展开定理；
求所有代数余子式之和：即求伴随矩阵（求行列式和逆），把伴随矩阵的所有元素加起来。
矩阵：乘法 · 逆 · 伴随 · 秩
▼矩阵乘法
结合分配律：$(AB)C=A(BC)$，$A(B+C)=AB+AC$，$(B+C)A=BA+CA$。
交换律：一般不满足 $AB\ne BA$；若 $AB=BA$，则 $(A\pm B)^2=A^2\pm2AB+B^2$、$(AB)^k=A^kB^k$。
AB 可交换充分条件：① $B=f(A)$（$A^{-1}$、$A^*$、矩阵多项式）；② $AB=\alpha A+bB$；③ $A$ 满足二次方程如 $(A-2E)(A+3E)=0$ ⇒ $A-2E$ 可逆，逆为 $\frac{A+3E}{6}$；④ 其他。
消去律：一般不满足；若 $A$ 可逆，则 $AB=AC\Rightarrow B=C$；$A$ 列满秩 ⇒ $AB=0\Rightarrow B=0$；$B$ 行满秩 ⇒ $AB=0\Rightarrow A=0$。
转置与对称
$(A+B)^T=A^T+B^T$；$(kA)^T=kA^T$；$(AB)^T=B^TA^T$；$(A^T)^T=A$；$|A^T|=|A|$。
对称矩阵 $A^T=A$；反对称矩阵 $A^T=-A$（对称/反对称的和、数乘仍同型）。
逆矩阵
定义：$AB=E$ 或 $BA=E$ 则 $B=A^{-1}$。
性质：$(kA)^{-1}=\dfrac1k A^{-1}$；$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$；$|A^{-1}|=\dfrac1{|A|}$；$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$；$(A^{-1})^{-1}=A$。
可逆六充要：$|A|\ne0$ ⇔ $r(A)=n$ ⇔ 列（行）向量组线性无关 ⇔ $Ax=0$ 只有零解 ⇔ $Ax=b$ 有唯一解 ⇔ 特征值均不为零（口诀：秩满、可逆、不为 0、无零值、一只零解）。
求逆三法：初等变换法 $(A|E)\xrightarrow{\text{行}}(E|A^{-1})$；伴随矩阵法 $A^{-1}=\dfrac{A^*}{|A|}$；分块法。
二阶快速：$A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ 可逆时 $A^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}$。
伴随矩阵（8 条）
(1) $AA^*=A^*A=|A|E$；
(2) $(kA)^*=k^{n-1}A^*$；
(3) $(AB)^*=B^*A^*$；
(4) $|A^*|=|A|^{n-1}$；
(5) $(A^T)^*=(A^*)^T$；
(6) $(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}=\dfrac{A}{|A|}$；
(7) $(A^*)^*=|A|^{n-2}A$；
(8) $r(A^*)=\begin{cases}n,&r(A)=n\\ 1,&r(A)=n-1\\ 0,&r(A)<n-1\end{cases}$。
矩阵秩
定义：最高阶非零子式的阶数。具体矩阵：初等行变换化行阶梯形，秩 $=$ 非零行行数。
行满秩 $r(A)=$ 行数；列满秩 $r(A)=$ 列数。
初等变换与初等矩阵
三种初等变换：两行（列）互换；一行乘非零常数 $k$；一行乘 $k$ 加到另一行。
$E(i,j)^{-1}=E(i,j)$；$E(i(k))^{-1}=E(i(\frac1k))$；$E(i,j(k))^{-1}=E(i,j(-k))$。
初等行变换左乘初等矩阵，初等列变换右乘初等矩阵；可逆矩阵可写成有限个初等矩阵的乘积。
矩阵高次幂
秩一：$A=\alpha\beta^T$ ⇒ $A^n=(\beta^T\alpha)^{n-1}A$（或配合相似对角化）；
分解 $E\pm$ 主对角线右上/左下（幂等/幂零结构）；
可相似对角化：$A^n=P\Lambda^n P^{-1}$。
AB=E / AB=O / AB=C
$AB=E$ 或 $BA=E$（方阵）⇔ $A$ 可逆且 $B=A^{-1}$（兼证可交换）；
$AB=O$：$B$ 的列是 $Ax=0$ 的解 ⇒ 秩、方程组、特征角度结合；
$AB=C$：$A(\beta_1,\dots,\beta_n)=(C_1,\dots,C_n)$，按列分块处理。
正交矩阵 · 矩阵等价
正交矩阵 $A^TA=E$ ⇔ 行/列向量组为标准正交组；性质：$A^{-1}=A^T$、$|A|=\pm1$。
矩阵等价：可经初等变换互化 ⇔ $r(A)=r(B)$。
变形手法 & 元素特点
E 的妙用：任何地方可乘 $E$；$E=AA^{-1}=A^TA$ 等分解。
矩阵拆分：行（列）向量可写成矩阵形式，如 $(x_1+x_2+x_3,\,x_1+2x_2+3x_3)=(x_1,x_2,x_3)\begin{pmatrix}1&1&1\\ 1&2&3\\ 1&3&9\end{pmatrix}$。
各行（列）元素之和为 $k$：$A(1,1,\dots,1)^T=k(1,1,\dots,1)^T$；已知可逆 $A$ 每行和为 $x$，则 $A^{-1}$ 每行和为 $\dfrac1x$。
元素全为一：秩为一，$A=\alpha\beta^T$ 型。
向量：线性表示 · 相关无关 · 极大无关组
▼线性表示
定义：$\beta=k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s$ 则 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性表示。
充要：$\beta$ 可由 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 表示 ⇔ $(\alpha_1,\dots,\alpha_s)X=\beta$ 有解 ⇔ $r(\alpha_1,\dots,\alpha_s)=r(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta)$。
充分：$\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性无关且加 $\beta$ 后线性相关 ⇒ $\beta$ 可由其唯一线性表示。
求法：对 $(\alpha_1,\dots,\alpha_s|\beta)$ 初等行变换化行最简形；表示不唯一时自由变量取 $k$。
秩关系：$\beta$ 组可由 $A$ 组表示 ⇒ $r(B)\le r(A)$（反之不成立）。
共同线性表示（存在性证明）
设 $\alpha_1,\alpha_2$ 与 $\beta_1,\beta_2$ 均线性无关（3 维列向量），则存在非零 $\gamma$ 既可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 表示又可由 $\beta_1,\beta_2$ 表示。
证：4 个 3 维向量必线性相关，存在不全为零 $k_1,k_2,k_3,k_4$ 使 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\beta_1+k_4\beta_2=0$，移项令 $\gamma=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=-k_3\beta_1-k_4\beta_2$；若 $\gamma=0$ 由两组线性无关推出 $k$ 全零矛盾。
向量组等价
相互线性表示 ⇔ 等价；充要：$r(I)=r(II)=r(I|II)$。
线性相关 / 线性无关
定义：存在不全为零的 $k_1,\dots,k_s$ 使 $k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0$ ⇒ 线性相关；否则线性无关。
例：单个 $\alpha$ 相关 ⇔ $\alpha=0$；$\alpha_1,\alpha_2$ 相关 ⇔ 对应分量成比例；几何：两向量共线、三向量共面。
相关充要：至少一个向量可由其余表示 ⇔ 齐次方程组 $(\alpha_1,\dots,\alpha_s)X=0$ 有非零解 ⇔ $r(\alpha_1,\dots,\alpha_s)<s$；推论：$n$ 个 $n$ 维向量相关 ⇔ $|\alpha_1,\dots,\alpha_n|=0$。
无关充要：任意向量均不能由其余表示 ⇔ 齐次方程组只有零解 ⇔ $r(\alpha_1,\dots,\alpha_s)=s$；推论：$|\alpha_1,\dots,\alpha_n|\ne0$。
充分条件（秒杀结论）
相关：含零向量必相关；部分相关 ⇒ 整体相关；以少表多则多必相关（$s>t$ 时 $\alpha_s$ 可由 $\beta_t$ 表示 ⇒ $\alpha_s$ 相关）；推论 $n+1$ 个 $n$ 维向量必相关；逆否：无关被表则个数不多。
无关：整体无关 ⇒ 部分无关；低维无关 ⇒ 高维无关；不含零向量的正交向量组无关；不同特征值的特征向量无关。
极大线性无关组 & 秩
定义：存在 $r$ 个向量线性无关，再加入任意其余向量就线性相关（其余均可由它们表示）。
求法：按列构成矩阵，初等行变换化行阶梯形，每行首个非零元所在列对应的原向量即极大无关组。
向量组秩 $=$ 极大无关组中向量个数 $=$ 矩阵秩。
过渡矩阵 & 坐标变换
$(\beta_1,\dots,\beta_n)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)C$，过渡矩阵 $C=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)^{-1}(\beta_1,\dots,\beta_n)$。
坐标变换：$X=CY$（$\xi$ 在基 $\alpha$ 下坐标 $X$、基 $\beta$ 下坐标 $Y$）。
线性方程组：判定 · 基础解系 · 通解
▼解的性质
(1) $\xi_1,\xi_2$ 为 $Ax=0$ 的解 ⇒ $k_1\xi_1+k_2\xi_2$ 仍为 $Ax=0$ 的解；
(2) $\eta_1,\eta_2$ 为 $Ax=b$ 的解 ⇒ $\eta_1-\eta_2$ 为 $Ax=0$ 的解；
(3) $\xi$ 为 $Ax=0$ 的解、$\eta$ 为 $Ax=b$ 的解 ⇒ $\xi+\eta$ 为 $Ax=b$ 的解。
解的判定
齐次：$Ax=0$ 只有零解 ⇔ $r(A)=n$；有非零解 ⇔ $r(A)<n$；推论：$m<n$ 时必有非零解。
非齐次：无解 ⇔ $r(A)<r(\bar A)$（⇔ $r(A)=r(\bar A)-1$）；有唯一解 ⇔ $r(A)=r(\bar A)=n$；有无穷多解 ⇔ $r(A)=r(\bar A)<n$；推论：有解 ⇔ $r(A)=r(\bar A)$；充分条件 $r(A)=m$。
方阵：$|A|=0$ ⇔ 有非零解；$|A|\ne0$ ⇔ 只有零解；$Ax=b$：$|A|\ne0$ 唯一解、$|A|=0$ 无解或无穷多解。
齐次非齐次关系：$Ax=b$ 有唯一解 ⇒ $Ax=0$ 只有零解；$Ax=b$ 有无穷多解 ⇒ $Ax=0$ 有非零解。
基础解系（齐次通解）
$r(A)=r$，$\xi_1,\dots,\xi_{n-r}$ 为基础解系（$n-r$ 个线性无关解），通解 $x=k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$。
基础解系 ⇔ 线性无关的极大无关组；个数 $=$ 未知量个数 $-$ 秩。
求法：具体矩阵——行最简形，自由变量取零得基础解系；含参数——行阶梯形先比较 $r(A)$ 与 $r(\bar A)$；抽象——利用定义/性质：$AB=O$ 按列分块（$B$ 的列是 $Ax=0$ 的解）、$A$ 的各行元素之和为 $0$ ⇔ $A(1,\dots,1)^T=0$。
非齐次通解 & 特解
通解 $x=\eta^*+k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$（$\eta^*$ 为特解）。
特解求法：具体——行最简形自由变量取零；抽象——利用定义凑 $A\eta=b$。
非齐次解的组合：$k_1\eta_1+\cdots+k_s\eta_s$ 为 $Ax=b$ 的解 ⇔ $k_1+\cdots+k_s=1$（为 $Ax=0$ 的解 ⇔ 系数和 $=0$）。
公共解 & 同解
公共解：联立两方程组（构造 $\begin{pmatrix}A\\ B\end{pmatrix}x=0$），用参数确定。
同解：$Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解 ⇔ $A,B$ 行向量组等价 ⇔ $r(A)=r\binom AB=r(B)$。
推论：$A^TAx=0$ 与 $Ax=0$ 同解；设 $A$ 为 $m\times n$、$B$ 为 $n\times s$ 且 $r(A)=n$，则 $ABx=0$ 与 $Bx=0$ 同解。
$Ax=\alpha$ 的解均为 $Bx=\beta$ 的解 ⇔ $r\binom AB=r(A)$（比较增广后 $\alpha$ 必须为零）。
矩阵方程 AX=B
判定同方程组：无解 $r(A)<r(A|B)$；唯一解 $r(A)=r(A|B)=n$；无穷多解 $r(A)=r(A|B)<n$。
求法三法：① $A$ 可逆时 $X=A^{-1}B$；② 构造分块设 $X$ 化线性方程组；③ 按列分块 $A(X_1,\dots,X_n)=(B_1,\dots,B_n)$，对 $(A|B)$ 行初等变换。
推论：$XA=B$ ⇒ $X=BA^{-1}$；解唯一 ⇔ 自由变量为 0。
空间几何意义（三平面）
$r(A)=r(\bar A)=n$：三平面交于一点（唯一解）；
$r(A)=r(\bar A)<n$：交于一条直线或一个平面（无穷多解）；
$r(A)\ne r(\bar A)$：无公共交点（无解）；
无解细分：两两相交交线平行（$r(A)=2,r(\bar A)=3$）、两平面平行、三平面平行不重合、两平面重合第三面平行等，按列向量组相关/无关区分。
特征值 · 相似 · 对角化 · 实对称
▼定义
$A\alpha=\lambda\alpha$（$\alpha$ 为 $n$ 维非零列向量），$\lambda$ 为特征值，$\alpha$ 为属于 $\lambda$ 的特征向量。
性质（六条）
(1) 不同特征值的特征向量线性无关；
(2) 不同特征值的特征向量之和不是特征向量；
(3) $k$ 重特征值最多有 $k$ 个线性无关的特征向量；
(4) $\sum\lambda_i=\operatorname{tr}(A)$，$\prod\lambda_i=|A|$；
(5) $r(A)=1$ 即 $A=\alpha\beta^T$：$\lambda_1=\operatorname{tr}(A)=\alpha^T\beta$，$\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0$；
(6) $A\alpha=\lambda\alpha$ ⇒ $f(A)\alpha=f(\lambda)\alpha$（特征多项式应用）。
求法
具体（特征方程法）：① 解 $|A-\lambda E|=0$ 得 $n$ 个特征值；② 解 $(A-\lambda_i E)x=0$ 得基础解系（特征向量）。
化简技巧：顺/逆时针方向选择不含 $\lambda$ 的数，化简其他元素，把三次方程转化为二次方程。
抽象三法：利用定义——$\alpha$ 为 $Ax=0$ 的非零解（$r(A)<n$ ⇒ $0$ 是特征值）；$A$ 的各行元素之和为 $\lambda$ ⇔ $A(1,\dots,1)^T=\lambda(1,\dots,1)^T$；$AB=C$ 按列分块 $A\beta_i=C_i$（$\beta_i\ne0$ 且 $C_i=\lambda\beta_i$ 时 $\lambda$ 为特征值）；利用六条性质；利用特征方程。
矩阵相似
定义：存在可逆 $P$ 使 $P^{-1}AP=B$；本质是求 $P$。
性质：相似 ⇒ 特征值相同、$|A|=|B|$、$\operatorname{tr}$ 相同、秩相同。
判定：相似无充要条件；抽象小题见到相似当成相同（特值思想）；必要条件用性质 1、2。
可相似对角化矩阵相似 ⇔ 特征值相同；实战：两次相似对角化再传递、分块矩阵法。
相似对角化
充要：$A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 ⇔ $k$ 重特征值有 $k$ 个线性无关的特征向量。
充分：$n$ 个不同特征值（⇒ 全部无关）；$A$ 为实对称矩阵。
必要：若上下三角矩阵主对角元素相同，则一定不能相似对角化。
两大考点：因式分解后秩的和为 $n$ —— $r(A+\lambda_1E)+r(A+\lambda_2E)=n$ ⇒ $A$ 可相似对角化；实例：$A^2-4A+3E=0$ ⇒ $r(A-E)+r(A-3E)=4$。
实对称矩阵
性质：(1) 特征值均为实数；(2) 不同特征值的特征向量正交；(3) $k$ 重特征值有 $k$ 个线性无关特征向量（可对角化）；(4) 可正交相似对角化：存在正交 $Q$ 使 $Q^TAQ=Q^{-1}AQ=\Lambda$。
正交矩阵 $Q$ 三大步：① 求特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$；② 求 $n$ 个线性无关特征向量 $P$；③ 不同特征值的特征向量 Schmidt 正交化，同一特征值（二重根）需正交化、单根直接单位化，得单位正交向量 $\gamma_i$，$Q=(\gamma_1,\dots,\gamma_n)$。
$A$ 的求法：$A=P\Lambda P^{-1}$（再求幂 $A^n=P\Lambda^nP^{-1}$）；$A=Q\Lambda Q^T$（$Q^T=Q^{-1}$）。
实对称分解定理：$A=\lambda_1\alpha_1\alpha_1^T+\cdots+\lambda_n\alpha_n\alpha_n^T$（$\alpha_i$ 为单位正交特征向量）；若 $r(A)=1$ 则 $A=\lambda_1\alpha_1\alpha_1^T$。
知二求一 / 知一求二：三阶实对称已知 $\lambda_1$ 的特征向量 $\alpha_1$，$\lambda_2=\lambda_3$ 的特征向量与 $\alpha_1$ 正交（如 $x_1+x_2+x_3=0$），解出两个正交向量（如 $(-1,1,0)^T$、$(-1,-1,2)^T$ 天然正交）。
二次型：标准形 · 合同 · 正定 · 变换
▼三种形态 & 惯性指数
二次型 $f=x^TAx$；标准形：只含平方项 $d_1y_1^2+\cdots+d_ny_n^2$；规范形：系数为 $\pm1$ 或 $0$。
正惯性指数 $p$（正系数个数）、负惯性指数 $q$（负系数个数）；规范形由 $(p,q)$ 唯一决定。
可逆线性变换：$x=Py$（$P$ 可逆）。
化标准形三法
① 拉格朗日配方法（配方后换元）；
② 正交变换法三大步：同实对称矩阵求 $Q$（特征值 → 特征向量 → 正交化单位化），$Q^TAQ=\Lambda$；
③ 合同变换法：行列成对的初等变换（对 $\begin{pmatrix}A\\ E\end{pmatrix}$ 或 $(A|E)$ 同施行行、列变换）。
合同矩阵
$A$ 与 $B$ 合同 ⇔ 二次型 $x^TAx$ 与 $x^TBx$ 有相同的正、负惯性指数 ⇔ 正、负特征值个数相同（实对称前提下）；一般指秩相等 $+$ 特征值同号。
矩阵关系（实对称）：等价 ⇔ 秩相等；相似 ⇒ 特征值相同；合同 ⇔ 正负惯性指数相同（相似与合同无包含，实对称相似 ⇒ 合同）。
正定矩阵
$f=x^TAx$ 正定充要：① 正惯性指数为 $n$；② $A$ 与 $E$ 合同（存在可逆 $C$ 使 $C^TAC=E$）；③ 特征值均大于零；④ 顺序主子式均大于零。
必要条件：$a_{ii}>0\,(i=1,\dots,n)$，$|A|>0$。
分解：$A=P^TEP$（正定矩阵与单位矩阵合同本质）。
变换理论（四种变换）
化标准形/规范形：可逆变换——求可逆 $P$ 使 $P^TAP=\Lambda$（与对角矩阵合同本质），求可逆变换 $x=Py$；正交变换——求正交 $Q$ 使 $Q^TAQ=\Lambda$，求正交变换 $x=Qy$。
化另一二次型：普通可逆——两次配方/两次合同变换得相同规范形再传递，求 $P$ 使 $P^TAP=B$（合同本质）；正交变换——两次标准正交变换得相同标准型再传递，求 $Q$ 使 $Q^TAQ=B$（既相似又合同本质）。
规范形路线：先正交变换化标准形，再可逆变换化规范形。
二次型几何应用（$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2=1$）
三正 ⇒ 椭球面 $\dfrac{x_1^2}{a_1^2}+\dfrac{x_2^2}{a_2^2}+\dfrac{x_3^2}{a_3^2}=1$；
两正一零 ⇒ 椭圆柱面 $\dfrac{x_1^2}{a_1^2}+\dfrac{x_2^2}{a_2^2}=1$；
一正一负一零 ⇒ 双曲柱面 $\dfrac{x_1^2}{a_1^2}-\dfrac{x_2^2}{a_2^2}=1$；
两正一负 ⇒ 单叶双曲面；
两负一正 ⇒ 双叶双曲面。
最值问题：二次型在约束下的最大/小值由最大/小特征值控制。
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